Question

【题目】如图，P是正四面体V-ABC的面VBC上一点，点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹是( )

A. 直线 B. 抛物线

C. 离心率为的椭圆 D. 离心率为3的双曲线

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：由题设条件将点P到平面ABC距离与到点V的距离相等转化成在面VBC中点P到V的距离与到定直线BC的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状．

详解：∵正四面体V﹣ABC∴面VBC不垂直面ABC，过P作PD⊥面ABC于D，过D作DH⊥BC于H，连接PH，

可得BC⊥面DPH，所以BC⊥PH，故∠PHD为二面角V﹣BC﹣A的平面角令其为θ

则Rt△PGH中，|PD|：|PH|=sinθ（θ为V﹣BC﹣A的二面角的大小）．

又点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，即|PV|=|PD|

∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC中，点P到定点V的距离与定直线BC的距离之比是一个常数sinθ，

又在正四面体V﹣ABC，V﹣BC﹣A的二面角的大小θ有：sinθ=＜1，

由椭圆定义知P点轨迹为椭圆在面SBC内的一部分．

故答案为：C．