Question

【题目】设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn ， 且a5 ， a3 ， a4成等差数列．
（1）求数列{an}的公比；
（2）证明：对任意k∈N+ ， Sk+2 ， Sk ， Sk+1成等差数列．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设{an}的公比为q（q≠0，q≠1）

∵a5，a3，a4成等差数列，∴2a3=a5+a4，

∴

∵a1≠0，q≠0，

∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2

∵q≠1，

∴q=﹣2

（2）

证明：对任意k∈N+，Sk+2+Sk+1﹣2Sk=（Sk+2﹣Sk）+（Sk+1﹣Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（﹣2）=0

∴对任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．

【解析】（1）设{an}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a5 ， a3 ， a4成等差数列结合通项公式，可得 ，由此即可求得数列{an}的公比；（2）对任意k∈N+ ， Sk+2+Sk+1﹣2Sk=（Sk+2﹣Sk）+（Sk+1﹣Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（﹣2）=0，从而得证．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等比数列的通项公式（及其变式）(通项公式：)，还要掌握等差数列的性质(在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列)的相关知识才是答题的关键．