Question

【题目】如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．

（1）求轨迹C的方程；
（2）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0

当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）

当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ，

化简可得3x2﹣y2﹣3=0

而点（2，±3）在曲线3x2﹣y2﹣3=0上

综上可知，轨迹C的方程为3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）；

（2）解：直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①

∴①有两根且均在（1，+∞）内

设f（x）=x2﹣4mx+m2+3，∴ ，∴m＞1，m≠2

设Q，R的坐标分别为（xQ，yQ），（xR，yR），

∵|PQ|＜|PR|，∴xR=2m+ ，xQ=2m﹣ ，

∴ = =

∵m＞1，且m≠2

∴ ，且

∴ ，且

∴ 的取值范围是（1，7）∪（7，7+4 ）

【解析】（1）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；（2）直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出xR ， xQ ， 利用 ，即可确定 的取值范围．