Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 的离心率为，两条准线之间的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的左顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且的面积是的面积的倍，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2），

【解析】试题分析：（1）根据两条准线之间的距离为，联立离心率条件解得， ， .（2）由面积关系得M为AB中点，由直线AB点斜式方程与椭圆方程联立解得B坐标，由中点坐标公式得M坐标，代入圆方程解得直线AB斜率

试题解析：（1）设椭圆的焦距为，由题意得， ，

解得， ，所以.

所以椭圆的方程为.

（2）方法一：因为，

所以，

所以点为的中点.

因为椭圆的方程为，

所以.

设，则.

所以①，②，

由①②得，

解得， （舍去）.

把代入①，得，

所以，

因此，直线的方程为即， .

方法二：因为，所以，所以点为的中点.

设直线的方程为.

由得，

所以，解得，

所以， ，

代入得，

化简得，

即，解得，

所以，直线的方程为即， .