【题目】已知函数,且
.
(1)求实数的值,并指出函数
的定义域;
(2)将函数图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数
的图象,写出函数
的表达式;
(3)对于(2)中的,关于
的函数
在
上的最小值为2,求
的值.
【答案】(1);定义域
;(2)
;(3)
.
【解析】
(1)根据,结合对数运算,即可求得参数;由真数大于零,即可求得定义域.
(2)根据左加右减的平移原则,即可容易求得;
(3)利用换元法,将问题转化为求二次函数最小值的问题,根据动轴定区间问题的处理方式,分类讨论即可.
(1)因为,且
,
故可得,解得
.
故,要使得函数有意义,
则,解得
,
故函数的定义域为
.
(2)图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数
的图象,
又因为,
故可得.
(3)由(2)可知,
故等价于:
,
令,则
则在
上的最小值为
.
又因为其对称轴为,
①当时,二次函数在
上单调递增,
故,不符合题意,故舍去;
②当时,二次函数在
单调递减,在
单调递增,
故,解得
,
故此时满足题意的;
③当时,二次函数在
上单调递减,
故,解得
,故舍去.
综上所述:.
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【题目】如图,在处有一港口,两艘海轮
同时从港口
处出发向正北方向匀速航行,海轮
的航行速度为20海里/小时,海轮
的航行速度大于海轮
.在港口
北偏东60°方向上的
处有一观测站,1小时后在
处测得与海轮
的距离为30海里,且
处对两艘海轮
,
的视角为30°.
(1)求观测站到港口
的距离;
(2)求海轮的航行速度.
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【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形,点O为AC中点,平面AA1C1C⊥平面ABC.
(1)证明:A1O⊥平面ABC;
(2)求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值.
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【题目】如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,△PDC, △PBC, △PAB, △PDA为全等的等边三角形,E、F分别为PA、PD的中点,在此几何体中,下列结论中错误的为 ( )
A. 平面BCD⊥平面PAD B. 直线BE与直线AF是异面直线
C. 直线BE与直线CF共面 D. 面PAD与面PBC的交线与BC平行
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,两条准线之间的距离为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆的左顶点为,点
在圆
上,直线
与椭圆相交于另一点
,且
的面积是
的面积的
倍,求直线
的方程.
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