Question

【题目】如图，已知是中的角平分线，交边于点.

（1）用正弦定理证明： ；

（2）若， ， ，求的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）根据是的角平分线,利用正弦定理、三角形内角和定理及诱导公式，即可证明结论成立；(2)根据余弦定理，先求出的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出的长.

试题解析：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD

根据正弦定理，在△ABD中，=

在△ADC中，=

∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC

∴=，=

∴=

（2）根据余弦定理，cos∠BAC=

即cos120°=

解得BC=

又=

∴=，

解得CD=，BD=；

设AD=x，则在△ABD与△ADC中，

根据余弦定理得，

cos60°=

且cos60°=

解得x=，即AD的长为．