【题目】如图,在四棱锥中,
是等边三角形,
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若直线与
所成角的大小为60°,求二面角
的大小.
【答案】(1)见解析(2)90°
【解析】【试题分析】(1)由于是等边三角形,结合勾股定理,可计算证明
三条直线两两垂直,由此证得
平面
,进而得到平面
平面
.(2)根据(1)证明
三条直线两两垂直,以
为空间坐标原点建立空间直角坐标系,利用
和
所成角为
计算出
点的坐标,然后通过平面
和平面
的法向量计算二面角的余弦值并求得大小.
【试题解析】
(1)∵,
且是等边三角形
∴,
,
均为直角三角形,即
,
,
∴平面
∵平面
∴平面平面
(2)以为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系
.
令,
,
∴,
,
,
.
设,则
,
.
∵直线与
所成角大小为60°,所以
,
即,解得
或
(舍),
∴,
设平面的一个法向量为
.
∵,
,则
即
令,则
,所以
.
∵平面的一个法向量为
,
∵,
,则
即
令,则
,
,
∴.
∴,
故二面角的大小为90°.
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【题目】定义:若函数的定义域为
,且存在非零常数
,对任意
,
恒成立,则称
为线周期函数,
为
的线周期.
(1)下列函数①,②
,③
(其中
表示不超过x的最大整数),是线周期函数的是 (直接填写序号);
(2)若为线周期函数,其线周期为
,求证:
为周期函数;
(3)若为线周期函数,求
的值.
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【题目】已知圆C经过点,
两点,且圆心C在直线
上.
(1)求圆C的方程;
(2)设,对圆C上任意一点P,在直线MC上是否存在与点M不重合的点N,使
是常数,若存在,求出点N坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
的方程为
,动圆
过点
和点
.记两个圆的交点为
、
.
(1)如果直线的方程为
,求圆
的方程;
(2)当动圆的面积最小时,求两个圆心距离
的大小.
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【题目】半期考试后,班长小王统计了50名同学的数学成绩,绘制频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图,估计这50名同学的数学成绩的众数;
(2)用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名,再在抽取的这6名同学中任选2名,求这两名同学数学成绩均在中的概率.
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【题目】大学生小王和小张即将参加实习,他们各从“崇尚科学,关心社会”的荆州市荆州中学、“安学、亲师、乐友、信道”的荆门市龙泉中学、“崇尚科学,追求真理”的荆门市钟祥一中、“追求卓越,崇尚一流”的襄阳市第四中学、“文明、振奋、务实、创新”的襄阳市第五中学、“千年文脉,百年一中”的宜昌市第一中学、“人走三峡,书读夷陵”的宜昌市夷陵中学这七所省重点中学中随机选择一所参加实习,两人可选同一所或者两所不同的学校,假设他们选择哪所学校是等可能的,则他们在同一个市参加实习的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知函数,且
.
(1)求实数的值,并指出函数
的定义域;
(2)将函数图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数
的图象,写出函数
的表达式;
(3)对于(2)中的,关于
的函数
在
上的最小值为2,求
的值.
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