Question

【题目】已知函数f（x）=x2+bx+c，其图象与y轴的交点为（0，1），且满足f（1﹣x）=f（1+x）．

（1）求f（x）；

（2）设 ，m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；

（3）设h（x）=lnf（x），若对于一切x∈[0，1]，不等式h（x+1﹣t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=x2﹣2x+1；（2）

（3）实数t的取值范围是﹣1＜t＜0.

【解析】试题分析：（1）根据截距和对称轴得出b，c的值，得出f（x）的解析式；

（2）作出g（x）的函数图象，根据图象得出结论；

（3）化简h（x）解析式，根据函数单调性得出关于t的恒等式，从而求出t的范围．

试题解析：

（1）∵图象与y轴的交点为（0，1），∴c=1，

∵f（1﹣x）=f（1+x），

∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，∴b=﹣2，

∴f（x）=x2﹣2x+1，

（2）∵f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

∴，

作出g（x）的函数图象如图所示：

当0＜m≤时，gmax（x）=g（m）=m﹣m2，

当＜m≤时，gmax（x）=g（）=，

当m＞时，gmax（x）=g（m）=m2﹣m，

综上， ．

（3）h（x）=2ln|x﹣1|，

所以h（x+1﹣t）=2ln|x﹣t|，h（2x+2）=2ln|2x+1|，

当x∈[0，1]时，|2x+1|=2x+1，

所以不等式等价于0＜|x﹣t|＜2x+1恒成立，

解得﹣x﹣1＜t＜3x+1，且x≠t，

由x∈[0，1]，得﹣x﹣1∈[﹣2，﹣1]，3x+1∈[1，4]，

所以﹣1＜t＜1，

又x≠t，∵t[0，1]，

∴实数t的取值范围是﹣1＜t＜0．