Question

【题目】已知函数f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知a∈R，设P：当 时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，Q：当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣ax是单调函数，如果记使P成立的实数a的取值的集合为A，使Q成立的实数a的取值的集合为B，求A∩RB．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1），f（1）=0，取x=﹣1，y=1得f（0）﹣f（1）=﹣（﹣1+2+1），f（0）=﹣2
（2）解：取y=0，得f（x）﹣f（0）=x（x+1），故f（x）=x2+x﹣2
（3）解：（i）当 时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，即x2﹣x+1＜a恒成立

记h（x）=x2﹣x+1，对称轴 ，h（x）max=h（0）=1，

所以a＞1，即A=（1，+∞）

（ii）g（x）=x2+（1﹣a）x﹣2，对称轴： ，

由于x∈[﹣2，2]时，g（x）是单调函数，所以

即A=（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），所以CRB=（﹣3，5），A∩CRB=（1，5）

【解析】（1）令x=﹣1，y=1，利用f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1），即可求得f（0）的值；（2）令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1），结合f（0）=﹣2，可求f（x）的解析式；（3）不等式f（x）+3＜2x+a，即x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a，从而可得A，根据g（x）在[﹣2，2]上是单调函数，可求B，从而可求A∩CRB．