Question

【题目】已知 ， ．
（1）求f（x）的解析式及定义域；
（2）求f（x）的值域；
（3）若方程f（x）=a2﹣3a+3有实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设t=log3x，t∈[﹣1，1]，则x=3t

f（t）=（3t）2﹣23t+4，

∴f（x）=（3x）2﹣23x+4，

f（x）的定义域为[﹣1，1]

（2）解：设u=3x， ，

f（u）=u2﹣2u+4=（u﹣1）2+3，

∴f（u）∈[3，7]

即所求值域为[3，7]

（3）解：由于方程f（x）=a2﹣3a+3有实数根，

∴a2﹣3a+3∈[3，7]，

∴a∈[﹣1，0]∪[3，4]

【解析】（1）设t=log3x，得到t∈[﹣1，1]，从而求出f（x）的解析式和函数的定义域即可；（2）设u=3x ， 得到 ，求出f（u），从而求出函数的值域即可；（3）求出a2﹣3a+3∈[3，7]，从而求出a的范围即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的零点的相关知识，掌握函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．