Question

【题目】已知椭圆： 的离心率与双曲线： 的离心率互为倒数，且经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，已知是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且与交于点， 为坐标原点，求证： 三点共线．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)见解析.

【解析】试题分析：(1)由二者离心率互为倒数以及椭圆经过点，建立关于a，b，c的方程组从而得到椭圆的标准方程；（2）因为线段线段的中垂线的斜率为，所以线段所在直线的斜率为，线段所在直线的方程为，联立方程可得，利用韦达定理得到弦的中点的坐标，所以，所以点在定直线上，而两点也在定直线上，所以三点共线．

试题解析：

（1）因为双曲线： 的离心率，

而椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，所以椭圆的离心率为，

设椭圆的半焦距为，则.①

又椭圆经过点，所以.②

，③

联立①②③，解得.

所以椭圆的标准方程为.

（2）因为线段线段的中垂线的斜率为，所以线段所在直线的斜率为.

所以可设线段所在直线的方程为，

设点，

联立，消去，并整理得，

显然.

所以

，

则

因为，所以，

所以点在定直线上，而两点也在定直线上，所以三点共线．