Question

【题目】对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a，b]D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]
（2）判断函数f（x）= 是否为闭函数？并说明理由；
（3）若y=k+ 是闭函数，求实数k的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减，则 ，

所以，所求的区间为[﹣1，1]

（2）解： ，在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递增，

所以，函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数

（3）解：若 是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，

函数f（x）的值域为[a，b]，即 ，

∴ 的两个实数根，

即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根．

当 ．

当 此不等式组无解．

综上所述，

【解析】（1）根据函数的单调性得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）将f（x）变形，得到f（x）的单调区间，根据闭函数的定义判断即可；（3）根据闭函数的定义得到方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根，通过讨论k，得到关于k的不等式组，解出即可．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数单调性的性质，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能得出正确答案．