Question

如图,已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD的高分别为1和2,AB=4.

(1)证明PQ⊥平面ABCD;

(2)求异面直线AQ和PB所成的角;

(3)求点P到平面QAD的距离.

Answer 1

解法一：(1)证明:连结AC、BD,设AC∩BD=O.

因为P—ABCD与Q—ABCD都是正四棱锥,

所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.

从而P、O、Q三点在一条直线上.

所以PQ⊥平面ABCD.

(2)解:由题设知,ABCD是正方形,所以AC⊥BD.

由(1),PQ⊥平面ABCD,故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),由题设条件,相关各点的坐标分别是P(0,0,1),A(,0,0),Q(0,0,-2),B(0,,0).

所以=(-,0,-2), =(0,,-1).

于是cos〈,〉=.

从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos.

(3)解:由(2),点D的坐标是(0,-22,0), =(,0), =(0,0,-3).

设n=(x,y,z)是平面QAD的一个法向量.

由

取x=1,得n=(1,-1,).

所以点P到平面QAD的距离d=.

解法二:(1)证明:取AD的中点M,连结PM、QM.

因为P—ABCD与Q—ABCD都是正四棱锥,

所以AD⊥PM,AD⊥QM.

从而AD⊥平面PQM.

又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD.

同理,PQ⊥AB.

所以PQ⊥平面ABCD.

(2)解:连结AC、BD.

设AC∩BD=O,由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上.

从而P、A、Q、C四点共面.

取OC的中点N,连结PN.

因为=,

所以.

从而AQ∥PN,∠BPN(或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角.

连结BN.

因为PB=,

PN=,

BN=,

所以cos∠BPN=.

从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos.

(3)解:由(1)知,AD⊥平面PQM,

所以平面QAD⊥平面PQM.

过P作PH⊥QM于H,则PH⊥平面QAD.

所以PH的长为点P到平面QAD的距离.

连结OM.

因为OM=AB=2=OQ,

所以∠MQP=45°.又PQ=PO+QO=3,

于是PH=PQsin45°=,

即点P到平面QAD的距离是.