Question

已知等腰梯形的三边AB，BC，CD分别与函数y=-

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2

x²+2，x∈[-2，2]的图象切于点P，Q，R，且点P的横坐标为x=1，则此梯形的面积为

 

．

Answer 1

分析：由已知中函数的解析式y=-

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2

x²+2，x∈[-2，2]，及等腰梯形的三边AB，BC，CD分别与函数y=-

1

2

x²+2，x∈[-2，2]的图象切于点P，Q，R，且点P的横坐标为x=1，我们易求出直线AB的方程，进而求出A，B的坐标，进而得到梯形的上底、下底及高，代入梯形面积公式，即可得到答案．

解答：解：∵函数y=-

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2

x²+2，
∴y′=-x
∵点P横坐标为x=1，
过P的切线BA的斜率等于P点的导数，即k=-1
又∵P的坐标为（1，

3

2

），
∴AB的所在直线的方程为：y-

3

2

=-（x-1）
即2x+2y-5=0
则A点坐标为（

5

2

，0）点，
∵函数y=-

1

2

x²+2的顶点坐标为（0，2），BC与X轴平行
∴B点坐标为（

1

2

，2）
故梯形ABCD的下底长为5，上底长为1，高为2
则梯形ABCD的面积S=6
故答案为：6．

点评：本题考查的知识点是导数与直线的斜率，二次函数的图象与性质，其中根据函数的解析式，求出导函数，进而求出过切点P的切线方程，是解答本题关键．