Question

已知点F（0，），动圆P经过点F且和直线y=-相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．
（1）求曲线W的方程；
（2）四边形ABCD是等腰梯形，A，B在直线y=1上，C，D在x轴上，四边形ABCD 的三边BC，CD，DA分别与曲线W切于P，Q，R，求等腰梯形ABCD的面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由动圆圆心P到F的距离等于P到y=的距离，知P点的轨迹是抛物线，由此能求出双曲线W的方程．
（2）设P（x，y），由y=，，知BC方程：y-y₁=，令y=0，得出-=（x-x₁），解得x=，由梯形ABCD的面积S=，能求出等腰梯形ABCD的面积的最小值．
解答：解：（1）动圆圆心P到F的距离等于P到y=的距离，
则P点的轨迹是抛物线，
且p=2，所以x²=6y为双曲线W的方程．
（2）设P（x，y），由y=，，知BC方程：y-y₁=，
令y=0，-=（x-x₁），x=，
即C（，0），
令y=1，1-=（x-x₁），
，
x=+x₁=，即B（，1），
所以梯形ABCD的面积S==
=
=
=2．
当且仅当2x₁=，即时，S有最小值2．
点评：本题考查曲线方程的求法，考查等腰梯形ABCD的面积的最小值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．