Question

（2013•嘉定区二模）如图，已知点F（0，1），直线m：y=-1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）（文）过轨迹C的准线与y轴的交点M作方向向量为

d

=（a，1）的直线m′与轨迹C交于不同两点A、B，问是否存在实数a使得FA⊥FB？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由；
（3）（文）在问题（2）中，设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D（0，y₀），求y₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），由题意，Q（x，-1），利用向量的运算即可得出；
（2）由（1）可知：轨迹C为抛物线，准线方程为y=-1，即直线m，所以M（0，-1），当a=0时，直线m'的方程为x=0，与曲线C只有一个公共点，故a≠0．把直线m'的方程与抛物线的方程联立，利用判别式△、根与系数的关系、向量的运算FA⊥FB?

FA

•

FB

=0，即可得出a；
（3）由（2），得线段AB的中点为(

2

a

 ， 

2

a2

-1)，线段AB的垂直平分线的一个法向量为

n

=(a ， 1)，即可得到线段AB的垂直平分线的方程，利用（2）的a的取值范围即可得出．

解答：解：（1）设P（x，y），由题意，Q（x，-1），

QP

=(0 ， y+1)，

QF

=(-x ， 2)，

FP

=(x ， y-1)，

FQ

=(x ， -2)，
由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，得2（y+1）=x²-2（y-1），
化简得x²=4y．所以，动点P的轨迹C的方程为x²=4y．
（2）轨迹C为抛物线，准线方程为y=-1，即直线m，所以M（0，-1），
当a=0时，直线m'的方程为x=0，与曲线C只有一个公共点，故a≠0．
所以直线m'的方程为

x

a

=y+1，由

x=ay+a x2=4y

 得a²y²+（2a²-4）y+a²=0，
由△=4（a²-2）²-4a⁴＞0，得0＜a²＜1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

4

a2

-2，y₁y₂=1，
所以x1+x2=

4

a

，x₁x₂=4，
若FA⊥FB，则

FA

•

FB

=0，即（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=0，x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，4+1-(

4

a2

-2)+1=0，
解得．所以a=±

2

2

．
（3）由（2），得线段AB的中点为(

2

a

 ， 

2

a2

-1)，
线段AB的垂直平分线的一个法向量为

n

=(a ， 1)，
所以线段AB的垂直平分线的方程为a(x-

2

a

)+(y-

2

a2

+1)=0，
令x=0，y0=

2

a2

+1，
因为0＜a²＜1，所以

2

a2

+1＞3．
所以y₀的取值范围是（3，+∞）．

点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、向量的运算及其数量积、直线与抛物线的位置关系、线段的垂直平分线等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．