Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，S₆=22．
（1）求S_n；
（2）若从{a_n}中抽取一个公比为q的等比数列{akn}，其中k₁=1，且k₁＜k₂＜…＜k_n＜…，k_n∈N^*．
①当q取最小值时，求{k_n}的通项公式；
②若关于n（n∈N^*）的不等式6S_n＞k_n+1有解，试求q的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用a₁=2，S₆=22，求出公差，即可求S_n；
（2）①数列{a_n}是正项递增等差数列，故数列{akn}的公比q＞1，由k₂=2，3，经验证不符合题意，应舍去；若k₂=4，则由a₄=4得q=2，此时akn=2•2^n-1组成等比数列，可求出k_n；
②由akn=

2kn+4

3

=2•q^n-1，可得k_n=3q^n-1-2，6S_n＞k_n+1有解，可得

2n(n+5)+2

3qn

＞1有解，从而可得结论．

解答： 解：（1）设等差数列的公差为d，则
∵a₁=2，S₆=22，
∴6•2+

6•5

2

d=22，
∴d=

2

3

，
∴S_n=

n(n+5)

3

；
（2）①数列{a_n}是正项递增等差数列，故数列{akn}的公比q＞1，
若k₂=2，则由a2=

8

3

，得q=

4

3

，此时ak3=2•（

4

3

）²=

32

9

，由

32

9

=

2

3

（n+2）
解得n=

10

3

∉N^*，∴k₂＞2，同理k₂＞3；
若k₂=4，则由a₄=4得q=2，此时akn=2•2^n-1组成等比数列，
∴2•2^n-1=

2

3

（m+2），
∴3•2^n-1=m+2，对任何正整数n，只要取m=3•2^n-1-2，即akn是数列{a_n}的第3•2^n-1-2项．最小的公比q=2．
∴kn=3•2n-1-2．
②∵akn=

2kn+4

3

=2•q^n-1，∴k_n=3q^n-1-2，
∵6S_n＞k_n+1有解，
∴

2n(n+5)+2

3qn

＞1有解，
q=2，3，4时，n=1，都符合题意；
下面证明q≥5时，

2n(n+5)+2

3qn

＞1无解．
设b_n=

2n(n+5)+2

3qn

，则b_n+1-b_n=

2[(1-q)n2+(7-5q)n+7-q]

3qn+1

，
∵

5q-7

2-2q

＜0，
∴f（n）=2[（1-q）n²+（7-5q）n+7-q]递减，
∵f（1）＜0，
∴f（n）＜0恒成立，
∴b_n+1-b_n＜0，
∴b_n≤b₁恒成立，
∵q≥5时，b₁＜1，
∴q≥5时，

2n(n+5)+2

3qn

＞1无解，
综上，q的取值为2，3，4．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的前n项和公式，考查数列与不等式的综合，属于难题．