Question

3．设a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，b_n=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|-1，则b₂₀₁₄=5•2²⁰¹³-1．

Answer 1

分析 通过a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$可知b_n+1=2b_n+1，进而可知数列{b_n+1}是以5为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，
∴b_n+1=|$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-1}$|-1
=|$\frac{\frac{2}{{a}_{n}+1}+2}{\frac{2}{{a}_{n}+1}-1}$|-1
=2|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|-1
=2b_n+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），
又∵b₁+1=|$\frac{{a}_{1}+2}{{a}_{1}-1}$|+1=|$\frac{2+2}{2-1}$|+1=5，
∴数列{b_n+1}是以5为首项、2为公比的等比数列，
∴b_n+1=5•2^n-1，
∴b_n=5•2^n-1-1，
∴b₂₀₁₄=5•2²⁰¹³-1，
故答案为：5•2²⁰¹³-1．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．