Question

8．化简求值：$\frac{1}{co{s}^{2}\frac{A}{2}•cosA}$•$\frac{co{t}^{2}\frac{A}{2}-co{t}^{2}\frac{3A}{2}}{1+co{t}^{2}\frac{3A}{2}}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．

解答 解：∵$\frac{co{t}^{2}\frac{A}{2}-co{t}^{2}\frac{3A}{2}}{1+co{t}^{2}\frac{3A}{2}}$=$\frac{\frac{co{s}^{2}\frac{A}{2}}{si{n}^{2}\frac{A}{2}}-\frac{co{s}^{2}\frac{3A}{2}}{si{n}^{2}\frac{3A}{2}}}{1+\frac{co{s}^{2}\frac{3A}{2}}{si{n}^{2}\frac{3A}{2}}}$=$\frac{co{s}^{2}\frac{A}{2}si{n}^{2}\frac{3A}{2}-si{n}^{2}\frac{A}{2}co{s}^{2}\frac{3A}{2}}{si{n}^{2}\frac{A}{2}}$=$\frac{sin（\frac{A}{2}+\frac{3A}{2}）sin（\frac{3A}{2}-\frac{A}{2}）}{si{n}^{2}\frac{A}{2}}$=$\frac{sin2AsinA}{si{n}^{2}\frac{A}{2}}$．
∴原式=$\frac{1}{co{s}^{2}\frac{A}{2}•cosA}$•$\frac{2si{n}^{2}AcosA}{si{n}^{2}\frac{A}{2}}$
=$\frac{2si{n}^{2}A}{\frac{1}{4}si{n}^{2}A}$=8．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了计算能力，属于中档题．