Question

18．（1）求证：cos$\frac{π}{5}$•cos$\frac{2}{5}$π=$\frac{1}{4}$；
（2）求证：cos20°•cos40°•cos80°=$\frac{1}{8}$．
（3）由（1）（2）两题概括出一般规律，并证明．

Answer 1

分析 首先，考察所给等式，每个等式中两个角的关系都是二倍关系，由它们的形式可以猜得一般规律，然后，利用公式进行求解．

解答 证明：（1）
cos$\frac{π}{5}$•cos$\frac{2}{5}$π
=$\frac{2sin\frac{π}{5}cos\frac{π}{5}cos\frac{2π}{5}}{2sin\frac{π}{5}}$
=$\frac{2sin\frac{2π}{5}cos\frac{2π}{5}}{4sin\frac{π}{5}}$
=$\frac{sin\frac{4π}{5}}{4sin\frac{π}{5}}$
=$\frac{sin\frac{π}{5}}{4sin\frac{π}{5}}$
=$\frac{1}{4}$，
∴cos$\frac{π}{5}$•cos$\frac{2}{5}$π=$\frac{1}{4}$；
（2）cos20°•cos40°•cos80°
=$\frac{2sin20°cos20°cos40°cos80°}{2sin20°}$
=$\frac{sin40°cos40°cos80°}{2sin20°}$
=$\frac{sin80°cos80°}{4sin20°}$
=$\frac{sin160°}{8sin20°}$
=$\frac{sin20°}{8sin20°}$
=$\frac{1}{8}$．
∴cos20°•cos40°•cos80°=$\frac{1}{8}$．
（3）由（1）（2）两题概括出一般规律：
cosα•cos2α•cos4α…cos2^n-1α=$\frac{1}{{2}^{n}}$，（π-2ⁿα=α）（n≥2），
证明如下：
左边=$\frac{2sinαcosαcos2α…cos{2}^{n-1}α}{2sinα}$
=$\frac{2sin2αcos2α…cos{2}^{n-1}α}{4sinα}$
=$\frac{sin{2}^{n}α}{{2}^{n}sinα}$
=$\frac{1}{{2}^{n}}$=右边，
所以等式成立．

点评 本题考查归纳推理及三角恒等变换，解题的关键是归纳出方程的共性，从而猜想出结论，再由三角函数的相关公式给出证明，本题有一定的探究性，属于中档题，考查了分析归纳的能力．