Question

1．已知集合M={y|y=x²+2x+4，x∈R}，N={y|y=ax²-2x+4a，x∈R}，若M∩N=M，求a的取值范围．

Answer 1

分析 若M∩N=M，则M⊆N，根据集合关系建立条件关系即可．

解答 解：若M∩N=M，则M⊆N，
M={y|y=x²+2x+4，x∈R}={y|y=（x+1）²+3≥3}=[3，+∞），
∴若a=0，则N={y|y=ax²-2x+4a}={y|y=-2x}=（-∞，+∞），满足条件M⊆N．
若a＜0，抛物线开口向下，不满足条件．
若a＞0，则N={y|y=ax²-2x+4a}={y|y≥$\frac{16{a}^{2}-4}{4a}$=$\frac{4{a}^{2}-1}{a}$}，
若M⊆N，则$\frac{4{a}^{2}-1}{a}$≤3，即4a²-1≤3a，
即4a²-3a-1≤0，
解得$-\frac{1}{4}$≤a≤1，此时0＜a≤1，
综上0≤a≤1．

点评 本题主要考查集合的基本关系的应用，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．