Question

19．设函数f_n（x）=xⁿ（1-x）²在x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上最大值为a_n（n=1，2，3…），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 利用导数研究函数f_n（x）的单调性，对n分类讨论即可得出．

解答 解：${f}_{n}^{′}（x）$=nx^n-1（x-1）²+2xⁿ（x-1）=x^n-1（x-1）[（n+2）x-n]
=（n+2）x^n-1（x-1）$（x-\frac{n}{n+2}）$，
列出表格如下：

x	$[-\frac{1}{2}，0）$	0	$（0，\frac{n}{n+2}）$	$\frac{n}{n+2}$	$（\frac{n}{n+2}，1）$
${f}_{n}^{′}（x）$	-	0	+	0	-
fn（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

而${f}_{n}（-\frac{1}{2}）$=$（-\frac{1}{2}）^{n}$$（\frac{3}{2}）^{2}$=$\frac{（-1）^{n}•9}{{2}^{n+2}}$=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{{2}^{n+2}}，n为奇数}\\{\frac{9}{{2}^{n+2}}，n为偶数}\end{array}\right.$；
${f}_{n}（\frac{n}{n+2}）$=$（\frac{n}{n+2}）^{n}（\frac{2}{n+2}）^{2}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4{n}^{n}}{（n+2）^{n}}，n为奇数}\\{\frac{9}{{2}^{n+2}}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．