Question

11．已知f（x）=|x+2|+|x-4|
（1）解不等式f（x）＞8；
（2）若不等式f（x）-a²+a＜0的解集不为空集，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞8的解集．
（2）由题意可得，f（x）_min＜a²-a．由绝对值的意义可得 f（x）_min=6，根据 6＜a²-a，求得a的范围．

解答 解：（1）f（x）=|x+2|+|x-4|表示数轴上的x对应点到-2、4对应点的距离之和，
而-3和5对应点到-2、4对应点的距离之和正好等于8，
故不等式f（x）＞8的解集为{x|x＜-3，或 x＞5}．
（2）若不等式f（x）-a²+a＜0的解集不为空集，则f（x）_min＜a²-a．
由绝对值的意义可得 f（x）_min=6，∴6＜a²-a，求得a＜-2，或 a＞3．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．