Question

2．设函数f（x）=ax²+$\frac{a+4}{x}$（a∈R）为奇函数，函数g（x）=f（log_x2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程g（x）=m+（log₂x）²在区间[2，8]上有解，求实数m的最大值．
（3）求证：当x∈[2，4]时，（e^x+1）[g（x）-f（x²）]＞e^x+11．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为奇函数，便有f（-x）=-f（x），这样即可求得a=0；
（2）求出g（x）=4log₂x，带入方程中并整理可得$（lo{g}_{2}x）^{2}-4lo{g}_{2}x+m=0$，这样可以想着换元得到t²-4t+m=0在[1，3]上有解，根据有解便有△≥0，可得到m≤4，只需判断m能否取到4，从而得出m的最大值；
（3）将g（x），f（x²）带入原不等式便可以得到其等价不等式$4（lo{g}_{2}x-\frac{1}{{x}^{2}}）＞1+\frac{10}{{e}^{x}+1}$，根据导数可以判断出函数u（x）=$4（lo{g}_{2}x-\frac{1}{{x}^{2}}）$，及v（x）=$1+\frac{10}{{e}^{x}+1}$的单调性，从而求出u（x）在[2，4]上的最小值，v（x）的最大值，只要最小值大于最大值即可说明原不等式成立．

解答 解：（1）f（x）为奇函数；
∴$f（-x）=a{x}^{2}-\frac{a+4}{x}=-a{x}^{2}-\frac{a+4}{x}$；
∴ax²=-ax²；
∴a=0；
∴f（x）=$\frac{4}{x}$；
（2）$g（x）=f（\frac{1}{lo{g}_{2}x}）=4lo{g}_{2}x$；
∴原方程变成$（lo{g}_{2}x）^{2}-4lo{g}_{2}x+m=0$；
令log₂x=t，t∈[1，3]；
∴方程t²-4t+m=0在[1，3]上有解；
∴△=16-4m≥0；
∴m≤4；
m=4时，解t²-4t+4=0得t=2∈[1，3]；
∴实数m的最大值为4；
（3）证明：$g（x）=4lo{g}_{2}x，f（{x}^{2}）=\frac{4}{{x}^{2}}$；
∴（e^x+1）[g（x）-f（x²）]＞e^x+11?$（{e}^{x}+1）（4lo{g}_{2}x-\frac{4}{{x}^{2}}）＞{e}^{x}+1+10$?$4（lo{g}_{2}x-\frac{1}{{x}^{2}}）＞1+\frac{10}{{e}^{x}+1}$；
设$u（x）=4（lo{g}_{2}x-\frac{1}{{x}^{2}}）$，$v（x）=1+\frac{10}{{e}^{x}+1}$，则：
$u′（x）=4（\frac{1}{xln2}+\frac{2}{{x}^{3}}）$，$v′（x）=-\frac{10{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$；
∵x∈[2，4]；
∴u′（x）＞0，v′（x）＜0；
∴u（x）在[2，4]上递增，v（x）在[2，4]上递减；
∴u（x）_min=u（2）=3，$v（x）_{max}=v（2）=1+\frac{10}{{e}^{2}+1}＜3$；
∴u（x）＞v（x）；
即$4（lo{g}_{2}x-\frac{1}{{x}^{2}}）＞1+\frac{10}{{e}^{x}+1}$；
∴原不等式成立．

点评 考查奇函数的定义，对数式的换底公式，换元法的运用，注意换元后变量的范围，二次函数有解时判别式△的取值情况，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性求函数的最值，要正确求导．