Question

10．已知函数y=f（n）满足f（1）=1，f（n+1）=f（n）+2n，n∈N^*．
（1）求f（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）探索f（n+1）-f（n）有何规律，能否根据规律写出y=f（n）的一个解析式．

Answer 1

分析 （1）由f（n+1）-f（n）=2n，将n的值代入表达式，求出即可；
（2）由f（n+1）-f（n）=2n令n=1，2，…，等式相加，可以得到f（n）-f（1）的表达式，用等差数列公式可以得到f（n）．

解答 解：（1）∵f（1）=1，且f（n+1）=f（n）+2n，n∈N₊，
∴f（2）=f（1）+2=3，
f（3）=f（2）+4=7，
f（4）=f（3）+6=13，
f（5）=f（4）+8=21；
（2）由f（n+1）=f（n）+2n，
得：f（n+1）-f（n）=2n，
得：f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=2×2，
f（4）-f（3）=2×3，f（5）-f（4）=2×4，
f（n）-f（n-1）=2•（n-1），
把这些等式相加，可以得到
f（n）-f（1）
=2+2×2+2×3+2×4+、+2•（n-1），
用等差数列公式可以得到，
f（n）=n²-（n+1）．

点评 本题考查了求函数值问题，求函数表达式问题，考查等差数列的应用，是一道中档题．