Question

20．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点F₁与椭圆上点P的最短距离为a-c，最长距离为a+c，若F₂是其另一焦点，则|PF₁|•|PF₂|的取值范围是[b²，a²]．

Answer 1

分析 椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点F₁与椭圆上点P的最短距离为a-c，最长距离为a+c．根据椭圆的定义得到|PF₁|+|PF₂|=2a，然后用|PF₁|表示出|PF₂|后代入到|PF₁|•|PF₂|中，最后根据二次函数的图象和性质可确定答案．

解答 解：由题意可知，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点F₁与椭圆上点P的最短距离为a-c，最长距离为a+c．
|PF₁|+|PF₂|=2a
∴|PF₂|=2a-|PF₁|（a-c≤|PF₁|≤a+c）
∴|PF₁|•|PF₂|=|PF₁|（2a-|PF₁|）=-|PF₁|²+2a|PF₁|=-（|PF₁|-a）²+a²
∵a-c≤|PF₁|≤a+c
∴|PF₁|•|PF₂|=-（|PF₁|-a）²+a²∈[b²，a²]
故答案为：a-c，a+c，[b²，a²]

点评 本题主要考查椭圆的定义，即椭圆上点到两焦点的距离的和等于2a，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．