Question

5．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1内有点，P（-1，1），F为椭圆的右焦点，M为椭圆上一点．
（1）当MP+2MF取最小值时，求点M的坐标；
（2）当MP+MF取最大值时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的第二定义进行转化，即可求出当MP+2MF取最小值时，求点M的坐标；
（2）利用椭圆的第一定义进行转化，当MP+MF取最大值时，求点M的坐标．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，e=$\frac{1}{2}$．
由题意可得点P在椭圆内部，设M到椭圆的左准线l得距离为d
由椭圆的第二定义可知d=2MF，
∴|PM|+2|MF|=d+|PM|
由题意可得，过P作PN⊥l，当M为该垂线与椭圆的右交点时，所求的值最小，
此时 y_M=1，代入可得 xM=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
故M（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，1）；
（2）设左焦点为F′，则|MF|+|MF′|=4，∴|MF|=4-|MF′|，
∴|MP|+|MF|=4+|MP|-|MF′|≤4+|PF′|，
直线PF′的方程为x=-1，∴MP+MF取最大值时，点M的坐标是（-1，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查椭圆的第一、二定义的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．