Question

13．若非零实数x、y、z满足2^x=3^y=6^z，则$\frac{x+y}{z}$的取值范围是（4，+∞）．

Answer 1

分析 令2^x=3^y=6^z=k，则x=log₂k，y=log₃k，z=log₆k，根据对数的运算性质及换底公式的推论，结合基本不等式，可得$\frac{x+y}{z}$的取值范围．

解答 解：令2^x=3^y=6^z=k，
则x=log₂k，y=log₃k，z=log₆k，
$\frac{x+y}{z}$=$\frac{{log}_{2}k+{log}_{3}k}{{log}_{6}k}$=（log₂k+log₃k）•log_k6=log₂6+log₃6=2+log₂3+log₃2＞2+2$\sqrt{{log}_{2}3•{log}_{3}2}$=4，
即$\frac{x+y}{z}$的取值范围是（4，+∞），
故答案为：（4，+∞）

点评 本题考查的知识点是对数的运算性质，换底公式的推论，基本不等式，是不等式与对数运算的综合应用，难度中档．