Question

已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，若存在， 使得成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）当时，函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为 ；

当时，函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为 ；

当时，函数的单调递减区间为 .

（2）

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数，并利用导函数求的单调区间，注意对参变量的取值进行分类讨论；

（2）由（1）知，当时，函数在上单调递减，

而原问题可等价转化为

所以可先利用在上单调递减，求出，再用分离变量法求出实数的取值范围.

【解析】
（1）依题意， 2分

当时，，令，得或

令，得 3分

当时， 4分

时，，令，得或；令，得 ；

5分

综上所述：当时，函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为 ；

当时，函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为 ；

当时，函数的单调递减区间为 6分 .

（2） 由（1）知，当时，函数在上单调递减，

所以， 7分

所以， 8分

因为存在，使得成立

所以

整理得： 10分

又，所以，又因为，得，

所以所以 12分

考点：1、利用导数研究函数的单调性与最值；2、等价转化的思想；3、分类讨论的思想；4、变量分离法求不等式恒成立时参数的取值范围.