Question

在△ABC中，A，C为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．
（1）求cos（A+C）的值；
（2）若，求a，b，c的值；
（3）已知tan（α+A+C）=2，求的值．

Answer 1

解：（1）∵，且A为锐角
∴cosA=，sinA==
∵sinC=，且C为锐角
∴cosC==
因此，cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=•-•=
（2）∵cos（A+C）=，0＜A+C＜π，∴A+C=，得B=π-=，sinB=
∵sinA=，sinB=，sinC=，
∴sinA：sinB：sinC=2：5：
由正弦定理，得a：b：c=2：5：，设a=2x，得b=5x，c=x
∵，得2x-x=
∴x=，可得a=，b=，c=1
（3）由（2）知A+C=，得tan（α+）=2
∴=2，解之得tanα=
所以===
分析：（1）根据二倍角三角函数与同角三角函数的关系，算出cosA、sinA和cosC的值，最后用两角和的余弦公式，即可求出cos（A+C）的值；
（2）由（1）求出的cos（A+C）值，可得A+C=，从而算出sinB=，结合正弦定理得出a：b：c=2：5：，再结合题意，不难得出三边a，b，c的值；
（3）由题意，tan（α+）=2，解之得tanα=，再将所求式的分子转化为cos²α+sin²α，分子分母同除以cos²α转化为关于tanα的式子，即可得到所求式子的值．
点评：本题给出三角形的两个角A、C与边a、c的关系式，求三边的长并求三角函数式的值，着重考查了三角恒等变形、三角形内角和定理和用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．