Question

我们知道在△ABC中有A+B+C=π，已知B=

π

3

，求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：由三角形的内角和定理及B的度数，表示出A+C的度数，用A表示出C，代入原式中利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．

解答：解：∵A+B+C=π，B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-A，
则sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+sin

2π

3

cosA-sin

2π

3

sinA=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin（A+

π

6

），
∵A为三角形的内角，且B=

π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

，即

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴sinA+sinC的取值范围是（

3

2

，

3

]．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．