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如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,侧棱与底面所成角为
π3
,顶点B1在底面ABC上的射影D在AB上.
(1)求证:侧面ABB1A1⊥底面ABC;
(2)证明:B1C⊥C1A;
(3)求二面角B1-BC-A的大小.
分析:(1)通过直线与平面垂直的判定定理,利用平面与平面垂直的判定定理证明:侧面ABB1A1⊥底面ABC;
(2)通过证明B1C⊥面ABC1,然后证明B1C⊥C1A;
(3)作DE⊥BC于E,连B1E,则由三垂线定理知:B1E⊥BC,说明∠B1ED为二面角B1-BC-A的平面角,通过解三角形求二面角B1-BC-A的大小.
解答:解:(1)依题意:
∵顶点B1在底面ABC上的射影D在AB上.
∴B1D⊥面ABC,且B1D?面ABB1A1
∴面ABB1A1⊥面ABC
(2)连BC1、CD
∵B1D⊥面ABC,∴B1BD=
π
3
BD=B1Dcos
π
3
=1
,即D为AB中点
∴CD⊥AB
又AB⊥B1D,CD∩B1D=D
∴AB⊥面B1DC,又B1C?面B1DC
∴AB⊥B1C
∵四边形B1BCC1是菱形∴B1C⊥BC1
又AB∩BC1=B,∴B1C⊥面ABC1
∵C1A?面ABC1∴B1C⊥C1A
(3)作DE⊥BC于E,连B1E,则由三垂线定理知:B1E⊥BC
∴∠B1ED为二面角B1-BC-A的平面角
∵ED=
3
2
B1D=
3
∴tan∠B1ED=2

∴∠B1ED=arctan2,即二面角B1-BC-A为arctan2
点评:本题考查平面与平面垂直,直线与平面垂直的性质定理以及二面角的平面角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
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精英家教网(甲)如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1C⊥底面ABC,∠ABC=90°,BC=2,AC=2
3
,又AA1⊥A1C,AA1=A1C.
(1)求侧棱A1A与底面ABC所成的角的大小;
(2)求侧面A1B与底面所成二面角的大小;
(3)求点C到侧面A1B的距离.
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如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,侧棱与底面所成的角为
π3
,顶点B1在底面ABC上的射影D在AB上.
(1)求证:侧面ABB1A1⊥底面ABC;
(2)证明:B1C⊥AB;
(3)求二面角B1-BC-A的正切值.

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(Ⅱ)若cosθ=
13
,且AC=BC=AA1=a,求二面角C-AB-C1的大小.

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2
a

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