Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为

π

3

，顶点B₁在底面ABC上的射影D在AB上．
（1）求证：侧面ABB₁A₁⊥底面ABC；
（2）证明：B₁C⊥AB；
（3）求二面角B₁-BC-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）由题意得B₁D⊥平面ABC，利用面面垂直判定定理即可证出平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（2）连结CD，根据直线与平面所成角的定义得出∠B1BD=

π

3

，Rt△B₁BD中算出BD=1，可得D为AB中点，因此在等边△ABC中得到CD⊥AB，结合AB⊥B₁D得AB⊥平面B₁DC，从而证出B₁C⊥AB；
（3）作DE⊥BC于E，连B₁E．根据三垂线定理证出B₁E⊥BC，即∠B₁ED为二面角B₁-BC-A的平面角．在Rt△B₁DE中，利用解直角三角形算出tan∠B₁ED=2，即得二面角B₁-BC-A的正切值．

解答：解：（1）根据题意，可得
∵顶点B₁在底面ABC上的射影D在AB上，
∴B₁D⊥平面ABC，
∵B₁D?平面ABB₁A₁，∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（2）连结CD，
∵B₁D⊥平面ABC，
∴∠B₁BD就是侧棱与底面所成的角为

π

3

，可得∠B1BD=

π

3

．
∴Rt△B₁BD中，BD=B1Dcos

π

3

=1，可得D为AB中点．
∴等边△ABC中，可得CD⊥AB．
又∵AB⊥B₁D，CD∩B₁D=D，∴AB⊥平面B₁DC，
∵B₁C?平面B₁DC，∴AB⊥B₁C，即B₁C⊥AB；
（3）作DE⊥BC于E，连B₁E．
∵B₁D⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴B₁E⊥BC，可得∠B₁ED为二面角B₁-BC-A的平面角
∵在Rt△B₁DE中，ED=

3

2

，B1D=

3

∴tan∠B1ED=

B1D

ED

=2，即二面角B₁-BC-A的正切值为2．

点评：本题给出特殊的三棱柱，求证面面垂直、线线垂直，并求二面角的正切值．着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明、二面角定义及其求法等知识，属于中档题．