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求下列函数的值域:
(1) y=x-
(2) y=x2-2x-3,x∈(-1,4];
(3) y=,x∈[3,5];
(4) y= (x>1).
(1)(2)[-4,5].(3)(4)[2-2,+∞).
(1) (换元法)设=t,t≥0,则y= (t2+2)-t=2,当t=时,y有最小值-,故所求函数的值域为.
(2) (配方法)配方,得y=(x-1)2-4,因为x∈(-1,4],结合图象知,所求函数的值域为[-4,5].
(3) (解法1)由y==2-,结合图象知,函数在[3,5]上是增函数,所以ymax,ymin,故所求函数的值域是.
(解法2)由y=,得x=.因为x∈[3,5],所以3≤≤5,解得≤y≤
即所求函数的值域是.
(4) (基本不等式法)令t=x-1,则x=t+1(t>0),
所以y==t+-2(t>0).
因为t+≥2=2,当且仅当t=,即x=+1时,等号成立,
故所求函数的值域为[2-2,+∞).
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