Question

函数f（x）=是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f（1）=
（1）求实数c和d，并确定函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

解：（1）函数f（x）=是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
可得f（0）=0，解得d=0．
再由f（1）==，可得 c=1．
故函数的解析式为 f（x）=．
（2）由函数的解析式可得函数在（-1，1）上是增函数．
证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，则 f（x₁）-f（x₂）=-
===．
由题设可得 x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，∴＜0，
故有f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），故函数在（-1，1）上是增函数．
分析：（1）由函数f（x）是奇函数，可得f（0）=0，解得d=0．再由f（1）=，可得 c=1．由此可得
函数的解析式．
（2）由函数的解析式可得函数在（-1，1）上是增函数，再利用函数的单调性的定义进行证明．
点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的单调性的判断和证明，属于基础题．