Question

如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

y2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，左右两个焦分别为F₁、F₂．过右焦点F₂且与轴垂直的
直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，动点P满足

PA

•

AB

=m-4，（m∈R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义和简单性质，求出a 和b²的值，即得椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x，y），由

PA

•

AB

=m-4，求得 y=2x+m，求出点B关于P的轨迹的对称点B′的坐标，并代入椭圆方程，解出 m值，即得点P的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得|MF₂|=

1

2

，由椭圆的定义得：|MF₁|+

1

2

=2a．
∵|MF1|²=4c²+

1

4

，∴(2a-

1

2

)2=4c²+

1

4

，又 e=

3

2

得 c2=

3

4

a2，
∴4a²-2a=3a²，∴a=2．
∴b²=a²-c²=

a2

4

=1，∴所求椭圆C的方程为 

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知点A（-2，0），点B为（0，-1），设点P的坐标为（x，y），
则

PA

=（-2-x，-y），

AB

=（2，-1），由

PA

•

AB

=m-4 得-4-2x+y=m-4，
∴点P的轨迹方程为 y=2x+m．
设点B关于P的轨迹的对称点为B′（x₀，y₀），则由轴对称的性质可得：

y0+1

x0

=-

1

2

，

y0-1

2

=2•

x0

2

+m，
解得：x₀=

-4-4m

5

，y₀=

2m-3

5

，∵B′（x₀，y₀） 在椭圆上，
∴(

-4-4m

5

)2+4(

2m-3

5

)2=4，整理得 2m²-m-3=0解得 m=-1或 m=

3

2

．
∴点P的轨迹方程为 y=2x-1或 y=2x+

3

2

，经检验  y=2x-1和 y=2x+

3

2

，都符合题设，
∴满足条件的点P的轨迹方程为 y=2x-1，或 y=2x+

3

2

．

点评：本题考查椭圆的定义、标准方程和简单性质，求点的轨迹方程的方法，利用椭圆的对称性求出m值是解题的关键．