Question

已知数列{a_n}为递增的等比数列，且{a₁，a₂，a₃}?{-3，-2，-1，0，1，2，3，4}．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在等差数列{b_n}，使a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）×2ⁿ+3对一切n∈N^*都成立？若存在，求出{b_n}的通项公式，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可得：a₁=1，a₂=2，a₃=4，进而得出公比和通项公式；
（2）利用递推式即可得出a_nb_n，进而得到b_n，利用a₁即可得到b₁．

解答：解：（1）由已知条件可得：a₁=1，a₂=2，a₃=4．
设数列{a_n}的公比为q，则q=

a2

a1

=2，
∴数列{a_n}的通项公式为：an=2n-1，(n∈N*)；   
（2）假设存在等差数列{b_n}，使a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-3)×2n+3对一切n∈N^*都成立，
则a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=[2(n-1)-3]×2n-1+3=(2n-5)×2n-1+3，(n≥2)
将以上两式相减得：anbn=(2n-1)×2n-1，
∴2n-1•bn=(2n-1)×2n-1，解得b_n=2n-1，（n≥2），
又a₁b₁=（2-3）×2+3=1且a₁=1，
∴b₁=1满足b_n=2n-1，
∴b_n=2n-1，（n∈N*），
∴存在等差数列{b_n}满足题意且数列{b_n}的通项公式为b_n=2n-1，（n∈N*）．

点评：熟练掌握等比数列的定义、通项公式、递推式的含义等是解题的关键．