Question

（2006•西城区二模）在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点D到平面ACD₁的距离为

3

3

，若点P为△BCD的重心，则D₁P与平面ADD₁A₁所成角的大小为

arctan

10

5

．

Answer 1

分析：由正方体的棱长求出ACD₁的边长，利用等积法求点D到平面ACD₁的距离；找出△BCD的重心P，作出D₁P与平面ADD₁A₁所成角，利用三角形中心的性质求出对应的一些边长，最后通过解直角三角形求D₁P与平面ADD₁A₁所成角的大小．

解答：解：如图，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，且棱长为1，
∴AC=CD1=AD1=

2

，
则S△ACD1=

1

2

×

2

×

6

2

=

3

2

．
设点D到平面ACD₁的距离为h，
则

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

3

×

3

2

h，
解得h=

3

3

∵P为为△BCD的重心，∴PC=

1

3

AC，AP=

2

3

AC．
过P作PQ∥CD交AD于Q，则AQ⊥m面ADD₁，D₁Q，
则∠PD₁Q为D₁P与平面ADD₁A₁所成角．
PQ=

2

3

CD=

2

3

，QD=

1

3

，QD1=

12+( 1 3 )2

=

10

3

．
∴tan∠PD1Q=

PQ

D1Q

=

2 3

10 3

=

10

5

．
∴D₁P与平面ADD₁A₁所成角的大小为arctan

10

5

．
故答案为

3

3

，arctan

10

5

．

点评：本题考查了直线与平面所成的角，考查了空间中的点、线、面间的距离，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．