Question

若实数列{a_n}的前n项和为S_n，则下列命题：
（1）若数列{a_n}是递增数列，则数列{S_n}也是递增数列；
（2）数列{S_n}是递增数列的充要条件是数列{a_n}的各项均为正数；
（3）若{a_n}（n∈N^*）是等比数列，则S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N）的充要条件是a_n+a_n+1=0．
其中，正确命题的个数是（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：利用等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前n项和的意义，通过举反例可得（1）、（2）不正确；经过检验，只有（3）正确，从而得出结论．

解答：解：数列{a_n}的前n项和为S_n，故 S_n =a₁+a₂+a₃+…+a_n，
若数列{a_n}是递增数列，则数列{S_n}不一定是递增数列，如当a_n＜0 时，数列{S_n}是递减数列，故（1）不正确．
由数列{S_n}是递增数列，不能推出数列{a_n}的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，…，
满足{S_n}是递增数列，但不满足数列{a_n}的各项均为正数，故（2）不正确．
若{a_n}是等比数列，则由S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N）可得数列的{a_n}公比为-1，故有a_n+a_n+1=0．
由a_n+a_n+1=0可得数列的{a_n}公比为-1，可得S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N），故（3）正确．
故选B

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前n项和的意义，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．