Question

（2013•惠州一模）已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0(n∈N*)的两实根，且a₁=1．
（Ⅰ）求证：数列{an-

1

3

×2n}是等比数列；
（Ⅱ）S_n是数列{a_n}的前n项的和．问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对?n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用韦达定理，结合等比数列的定义，即可证明数列{an-

1

3

×2n}是等比数列；
（Ⅱ）分别求出b_n、S_n，从而可得不等式，分类讨论，即可求出λ的取值范围．

解答：（Ⅰ）证明：∵a_n，a_n+1是关于x的方程x2-2n•x+bn=0(n∈N*)的两实根，
∴

an+an+1=2n bn=an•an+1

…（2分）
∵

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

2n-an- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

-(an- 1 3 ×2n)

an- 1 3 ×2n

=-1．
故数列{an-

1

3

×2n}是首项为a1-

2

3

=

1

3

，公比为-1的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，即an=

1

3

[2n-(-1)n]
∴Sn=a1+a2+…+an=

1

3

(2+22+23+…+2n)-

1

3

[(-1)+(-1)2+…+(-1)n]
=

1

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]．…（8分）
因此，bn=an•an+1=

1

9

[2n-(-1)n]×[2n+1-(-1)n+1]=

1

9

[22n+1-(-2

)

n

-1]
要使b_n＞λS_n，对?n∈N^*都成立，
即

1

9

[22n+1-(-2)n-1]-

λ

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]＞0，(n∈N*)（*） …（10分）
①当n为正奇数时，由（*）式得：

1

9

[22n+1+2n-1]-

λ

3

(2n+1-1)＞0
即

1

9

(2n+1-1)(2n+1)-

λ

3

(2n+1-1)＞0，
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴λ＜

1

3

(2n+1)对任意正奇数n都成立，
因为

1

3

(2n+1)(n为奇数）的最小值为1．所以λ＜1．…（12分）
②当n为正偶数时，由（*）式得：

1

9

(22n+1-2n-1)-

λ

3

(2n+1-2)＞0，即

1

9

(2n+1+1)(2n-1)-

2λ

3

(2n-1)＞0
∵2ⁿ-1＞0，∴λ＜

1

6

(2n+1+1)对任意正偶数n都成立，
∵

1

6

(2n+1+1)(n为偶数）的最小值为

3

2

，∴λ＜

3

2

．
∴存在常数λ，使得b_n＞λS_n对?n∈N^*都成立时λ的取值范围为（-∞，1）．…（14分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．