Question

【题目】下列四个结论：
①若x＞0，则x＞sinx恒成立；
②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；
③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；
④命题“x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“x0∈R，x0﹣lnx0＜0”．
其中正确结论的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①由y=x﹣sinx的导数为y′=1﹣cosx≥0，函数y为递增函数，若x＞0，则x＞sinx恒成立，故①正确；
②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”，由逆否命题的形式，故②正确；
③“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，则“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；
④命题“x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故④不正确．
综上可得，正确的个数为3．
故选：C．
由函数y=x﹣sinx的单调性，即可判断①；由若p则q的逆否命题：若非q则非p，即可判断②；由复合命题“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，结合充分必要条件的定义即可判断③；
由全称命题的否定为特称命题，即可判断④．