Question

已知m是非零实数，抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F在直线l：x-my-

m2

2

=0上．
（I）若m=2，求抛物线C的方程
（II）设直线l与抛物线C交于A、B，△AA₂F，△BB₁F的重心分别为G，H，求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外．

Answer 1

分析：（1）根据焦点F（

P

2

，0）在直线l上，将F代入可得到ρ=m²，再由m=2可确定p的值，进而得到答案．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），然后联立

x=my+ m2 2 y2=2m2x

消去x表示出两根之和、两根之积，然后设M₁，M₂分别为线段AA₁，BB₁的中点，根据重心的定义可得到关系2

M1C

=

GF

，2

M2H

=

HF

，进而得到G（

x1

3

，

2y1

3

），H（

x2

3

，

2y2

3

），和GH的中点坐标M(

m4

3

+

m2

6

，

2m2

3

)，再由R2=

1

4

|GH|2可得到关于m的关系式，然后表示出|MN|整理即可得证．

解答：解：（1）因为焦点F（

P

2

，0）在直线l上，
得p=m²
又m=2，故p=4
所以抛物线C的方程为y²=8x
（2）证明设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x=my+ m2 2 y2=2m2x

消去x得
y²-2m³y-m⁴=0，
由于m≠0，故△=4m⁶+4m⁴＞0，
且有y₁+y₂=2m³，y₁y₂=-m⁴，
设M₁，M₂分别为线段AA₁，BB₁的中点，
由于2

M1C

=

GF

，2

M2H

=

HF

，
可知G（

x1

3

，

2y1

3

），H（

x2

3

，

2y2

3

），
所以

x1+x2

6

=

m(y1+y2)+m2

6

=

m4

3

+

m2

6

，

2y1+2y2

6

=

2m3

3

，
所以GH的中点M(

m4

3

+

m2

6

，

2m2

3

)．
设R是以线段GH为直径的圆的半径，
则R2=

1

4

|GH|2=

1

4

[(

x1

3

-

x2

3

)2+(

2y1

3

-

2y2

3

)2]=

1

9

(m2+4)(m2+1)m2，
设抛物线的标准线与x轴交点N(-

m2

2

，0)，
则|MN|2=(

m2

2

+

m4

3

+

m2

6

)2+(

2m3

3

)2
=

1

9

m⁴（m⁴+8m²+4）
=

1

9

m⁴[（m²+1）（m²+4）+3m²]
＞

1

9

m²（m²+1）（m²+4）=R²．
故N在以线段GH为直径的圆外．

点评：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．