Question

【题目】一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（ ）

A.底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形

B.各个面都是正三角形

C.三个侧面是全等的等腰三角形

D.顶点在底面上的射影为重心

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用正三棱锥和充要条件的定义逐一分析判断每一个选项得解.

A．根据正三棱锥的定义可知，满足侧面是全等的等腰三角形，底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥．正三棱锥的底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以该选项符合题意；

B. 各个面都是正三角形，则三棱锥是正三棱锥，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的充分条件；如果三棱锥是正三棱锥，则各个面不一定都是正三角形，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的非必要条件，故该选项错误.

C. 三个侧面是全等的等腰三角形不一定是正三棱锥，如图所示，VA=VC=BC=AB，AC=VB时，不一定是正三棱锥，故该选项错误；

D. 顶点在底面上的射影为重心，设底面为直角三角形,其重心为,过点作平面ABC的垂线，连接VA,VB,VC得到三棱锥V-ABC,显然三棱锥V-ABC不是正三棱锥，所以该选项错误.

故选：A