Question

（本小题满分14分）

已知函数f(x)=x－ax + (a－1)，．

（I）讨论函数的单调性；

（II）若，数列满足．

（1）   若首项，证明数列为递增数列；

（2）   若首项为正整数，数列递增，求首项的最小值．

 

 

Answer 1

【答案】

解（I）可知的定义域为，且

．

当即,则,得在单调增加．————1分

当,而,即时,若，则;若或，则．

此时在单调减少，在单调增加；    ————3分

当,即,可得在单调减少，在单调增加.

综上，当时，函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增．   ——————6分

（II）若，则=x－2x +，由（I）知函数在区间上单调递增．

（1）因为，所以，可知．

假设，因为函数在区间上单调递增，所以，即得．

所以，由数学归纳法可得．因此数列为递增数列．—————9分

（2）由（1）知：当且仅当，数列为递增数列．

所以，题设即a1－2 a1 + > a1，且a1为正整数．

由a1－2 a1 + > a1，得．　

令，则，可知函数在区间递增．由于，，，．所以，首项的最小值为6． ————————14分

 

【解析】略