Question

20．给出下列四个命题：
①半径为2，圆心角的弧度数为$\frac{1}{2}$的扇形面积为$\frac{1}{2}$．
②若α，β为锐角，tan（α+β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，则α+2β=$\frac{π}{4}$或$\frac{5π}{4}$．
③函数y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的一条对称轴是x=$\frac{2π}{3}$
④已知α∈（0，π），sinα+cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{5}$，则tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{6}}{12}$
其中正确的命题是③④．

Answer 1

分析 ①利用扇形面积即可得出．
②由α，β为锐角，tan（α+β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，可得（α+β）∈$（0，\frac{π}{4}）$，$β∈（0，\frac{π}{4}）$，可得（α+2β）∈$（0，\frac{π}{2}）$．计算出tan（α+2β），进而判断出正误．
③把x=$\frac{2π}{3}$代入可得：y=$cos（2×\frac{2π}{3}-\frac{π}{3}）$=cosπ=-1，即可判断出正误；
④α∈（0，π），sinα+cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{5}$，可得$sin（α+\frac{π}{4}）$=-$\frac{1}{5}$，又α∈$（\frac{π}{2}，π）$，可得$（α+\frac{π}{4}）$∈$（\frac{3π}{4}，\frac{5π}{4}）$，可得$cos（α+\frac{π}{4}）$，即可得出tan（α+$\frac{π}{4}$）．

解答 解：①半径为2，圆心角的弧度数为$\frac{1}{2}$的扇形面积S=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{2}^{2}$=1，因此不正确．
②若α，β为锐角，tan（α+β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，∴（α+β）∈$（0，\frac{π}{4}）$，$β∈（0，\frac{π}{4}）$，可得（α+2β）∈$（0，\frac{π}{2}）$．
∴tan（α+2β）=$\frac{tan（α+β）+tanβ}{1-tan（α+β）tanβ}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1，则α+2β=$\frac{π}{4}$，因此不正确．
③把x=$\frac{2π}{3}$代入可得：y=$cos（2×\frac{2π}{3}-\frac{π}{3}）$=cosπ=-1，因此函数y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的一条对称轴是x=$\frac{2π}{3}$，正确；
④已知α∈（0，π），sinα+cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{5}$，∴$\sqrt{2}$$sin（α+\frac{π}{4}）$=-$\frac{\sqrt{2}}{5}$，化为$sin（α+\frac{π}{4}）$=-$\frac{1}{5}$，又α∈$（\frac{π}{2}，π）$，∴$（α+\frac{π}{4}）$∈$（\frac{3π}{4}，\frac{5π}{4}）$，
∴$cos（α+\frac{π}{4}）$=-$\sqrt{1-（-\frac{1}{5}）^{2}}$=-$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，则tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{-\frac{1}{5}}{-\frac{2\sqrt{6}}{5}}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，正确．
其中正确的命题是 ③④．
故答案为：③④．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质、和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．