Question

12．已知数列{a_n}，其中a₁=1，a₂=2，a_n+1=pa_n（p≠0，n≥2），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由数列递推式分p=2和p≠2讨论，当p=2时，数列{a_n}是以a₁=1为首项，以2为公比的等比数列，当p≠2时，数列{a_n}从第二项起构成以2为公比的等比数列，由此可得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由a₂=2≠0，且a_n+1=pa_n（n≥2），
得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=p$，
当p=2时，数列{a_n}是以a₁=1为首项，以2为公比的等比数列，则${a}_{n}={2}^{n-1}$；
当p≠2时，数列{a_n}从第二项起构成以2为公比的等比数列，
则当n≥2时，${a}_{n}=2{p}^{n-2}$，
验证n=1时上式不成立．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2{p}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．