Question

8．（Ⅰ） 求证：$\sqrt{11}-2\sqrt{3}＞3-\sqrt{10}$；
（Ⅱ） 若a，b，c是不全相等的实数，求证：a²+b²+c²＞ab+bc+ca．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用分析法证明，两边平方，化简即可证得；
（Ⅱ）用分析法证明，两边同乘以2，化简即可证得

解答 解：（Ⅰ）要证$\sqrt{11}-2\sqrt{3}＞3-\sqrt{10}$，
只要证$\sqrt{11}$+$\sqrt{10}$＞$\sqrt{12}$+$\sqrt{9}$，
只要证（$\sqrt{11}$+$\sqrt{10}$）²＞（$\sqrt{12}$+$\sqrt{9}$）²，
只要证21+2$\sqrt{110}$＞21+2$\sqrt{108}$，
只要证$\sqrt{110}$＞$\sqrt{108}$，
只要证110＞108，显然成立，
故$\sqrt{11}-2\sqrt{3}＞3-\sqrt{10}$；
（Ⅱ）要证a²+b²+c²＞ab+bc+ca，
只要证2a²+2b²+2c²＞2ab+2bc+2ca，
只要证2a²+2b²+2c²-2ab+2bc+2ca＞0，
只要证（a-c）²+（a-b）²+（b-c）²＞0
∴a，b，c是不全相等的实数，
∴（a-c）²+（a-b）²+（b-c）²＞0，
∴a²+b²+c²＞ab+bc+ca

点评 本题考查不等式的证明，考查分析法的运用，属于中档题．