Question

为了检测某批棉花的质量，质检人员随机抽取6根，其平均纤维长度为25mm．用X_n（n=1，2，3，4，5，6）表示第n根棉花的纤维长度，且前5根棉花的纤维长度如下表：

编号n	1	2	3	4	5
Xn	20	26	22	20	22

（1）求X₆及这6根棉花的标准差s；
（2）从这6根棉花中，随机选取2根，求至少有1根的长度在区间（20，25）内的概率．

Answer 1

解：（1）由题意，
6根纤维的平均长度为25mm，有（20+26+22+20+26+X₆）=25，X₆=40．
其方差s²=[（20-25）²+（26-25）²+（22-25）²+（20-25）²+（22-25）²+（40-25）²]=49，
则s=7．
（2）根据题意，记至少有1根的长度在区间（20，25）内为事件A，则其对立事件为2根的长度都不在区间（20，25）内；
从这6根棉花中，随机选取2根用无序数组（X_i，X_j）（i，j=1，2，3，4，5，6，i≠j）表示，
可能出现的结果为（X₁，X₂），（X₁，X₃），（X₁，X₄），（X₁，X₅），（X₁，X₆），
（X₂，X₃），（X₂，X₄），（X₂，X₅），（X₂，X₆），（X₃，X₄），
（X₃，X₅），（X₃，X₆），（X₄，X₅），（X₄，X₆），（X₅，X₆），共15种；
2根的长度都不在区间（20，25）内的情况为
（X₁，X₂），（X₁，X₄），（X₁，X₆），（X₂，X₄），（X₂，X₆），（X₄，X₆），有6种；
2根的长度都不在区间（20，25）内概率P（）==，
至少有1根的长度在区间（20，25）内的概率为P（A）=1-=．
分析：（（1）根据题意，由平均数公式可得=25，解可得X₆的值，由方差计算可得6个数据的方差s²，开方可得s；
（2）记至少有1根的长度在区间（20，25）内为事件A，则其对立事件为2根的长度都不在区间（20，25）内；由列举法可得从这6根棉花中，随机选取2根的情况，分析可得其可能情况数目与2根的长度都不在区间（20，25）内的情况数目，由古典概型公式可得P（），由对立事件的性质，可得P（A）．
点评：本题考查平均数，标准差、方差的计算与古典概型的计算，注意区分标准差与方差的概念．