Question

已知，有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2），a₁=2，设该数列的前_n项和为S_n且满足S_n+1=aS_n+2（n=1，2，…，2k-1），a>1。
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n= log₂a_n，求{b_n}的前n项和T_n；
（3）设，若，求满足不等式时k的最小值。

Answer 1

解：（1）由， ①
（n=2，3，…，k）②
①-②得a_n+1=a·a_n（n=2，3，…，2k-1）
由①式得S₂=aS₁+2，a₁+a₂=aS₁+2，
解得a₂=2a，
因为
所以{a_n}是以2为首项，a为公比的等比数列
（n=1，2，…，2k）。
（2）∵
=log₂a（n=2，3，…，2k），
∴{b_n}是以b₁=1为首项，以log₂a（a>1）为公差的等差数列
∴
（a>1，n=1，2，…，2k）。
（3）（n=1，2，…，2k）
当时，，n为正整数，知n≤k时，
当n≥k+1时，






即11k²-72k+36≥0，（11k-6）（k-6）≥0
解得k≥6或
所以满足条件的k的最小值为6。