Question

已知：有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2 ），a₁=2，设该数列的前n项和为S_n且满足S_n+1=aS_n+2（n=1，2，…，2k-1），a＞1．
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=log₂a_n，求{b_n}的前n项和T_n．
（3）设c_n=

Tn

n

，若a=2，求满足不等式|c1-

3

2

|+|c2-

3

2

|+…+|c2k-1-

3

2

|+|c2k-

3

2

|≥

36

11

时k的最小值．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=aS_n+2（n=1，2，2k-1），知S_n=aS_n-1+2（n=2，3，k），由此得a_n+1=a•a_n，从而能求出{a_n}的通项公式．
（2）由b_n-b_n-1=log₂a_n-log₂a_n-1=log₂a_n-1log₂

an

an-1

=log₂a（n=2，3，2k），知{b_n}是以b₁=1为首项，以log₂a（a＞1）为公差的等差数列，由此能求出T_n．
（3）c_n=

Tn

n

=1+

(n-1)logx2kx-1

2

=1+

n-1

2k-1

（n=1，2，2k），当c_n≤

3

2

时，n≤k+

1

2

，n为正整数，知n≤k时，c_n＜

3

2

．当n≥k+1时，11k²-72k+3≥0，由此解得满足条件的k的最小值为6．

解答：解：（1）由S_n+1=aS_n+2（n=1，2，2k-1）（1）
S_n=aS_n-1+2（n=2，3，k）（2）
（1）-（2）得a_n+1=a•a_n（n=2，3，2k-1）
由（1）式S₂=aS₁+2，a₁+a₂=aS₁+2
解得a₂=2a，因为

a2

a1

=a
所以{a_n}是以2为首项，a为公比的等比数列，a_n=2•a^n-1（n=1，2，2k）
（2）∵b_n-b_n-1=log₂a_n-log₂a_n-1=log₂a_n-1log₂

an

an-1

=log₂a（n=2，3，2k）
∴{b_n}是以b₁=1为首项，以log₂a（a＞1）为公差的等差数列
∴T_n=

(1+logx2•an-1)n

2

=

(2+(n-1)logxa)n

2

=n+

n(n-1)logxa

2

（a＞1，n=1，2，2k）
（3）c_n=

Tn

n

=1+

(n-1)logx2kx-1

2

=1+

n-1

2k-1

（n=1，2，2k）
当c_n≤

3

2

时，n≤k+

1

2

，n为正整数，知n≤k时，c_n＜

3

2

当n≥k+1时，c_n＞

3

2

|c1-

3

2

|+|c2-

3

2

|+…|c2k-1-

3

2

|+|c2k-

3

2

|
=（

3

2

-c₁）+（

3

2

-c₂）++（

3

2

-c_k）+（c_k+1-

3

2

）++（c_2k-

3

2

）
=（c_k+1+c_k+2++c_2k）-（c₁+c₂++c_k）
=

1

2k-1

{[k+（k+1）++（2k-1）]+2k}-

1

2k-1

{[1+2++（k-1）]+k}
=

1

2k-1

[

k(3k-1)

2

-

k(k-1)

2

]
=

k-1

2k-1

≥

36

11

即11k²-72k+3≥0，（11k-6）（k-6）≥0解得k≥6或k≤

36

11

所以满足条件的k的最小值为6．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．